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在數學分析中，凸性是函數的一種重要性質，它直不雅地描述了函數圖像的多少何特徵。具體來說，假如函數在某一點的咨意偏向上的切線都在該點函數圖像的下方，則稱該函數在該點處是凸的。當函數在全部定義域內都滿意這一性質時，我們說這個函數是到處凸的。本文將探究怎樣證明一個函數到處是凸的。 起首，對一元函數，凸性的斷定根據是函數的二階導數。假如函數的二階導數在定義域內非負，即f''(x)≥0，那麼這個函數就是凸函數。這是因為二階導數反應了函數曲線的凹凸程度，正值意味着曲線是凹的，即凸函數。 對多元函數，情況略微複雜一些。考慮一個多元函數f(x)，假如其海森矩陣（Hessian矩陣）在定義域內對全部x是半正定的，即∀x，有Hf(x)≥0，則函數是凸函數。海森矩陣是多元函數的二階導數，半正定性保證了函數圖像不會呈現向上凸起的情況。 除了二階導數跟海森矩陣，另有一些其他的方法可能幫助我們證明函數的凸性。比方，詹森不等式（Jensen's Inequality）是一個非常有效的東西，它供給了一種基於函數期望的性質來斷定凸性。假如對全部概率分佈跟全部輸入x_i，都有E[f(x)]≥f(E[x])，那麼函數f是凸函數。 其余，假如函數可能表示為其他凸函數的複合情勢，比方f(g(x))，且g(x)是凸函數，那麼在一定的前提下，f(g(x))也是凸函數。這種性質被稱為凸函數的保凸性。 總結來說，證明一個函數到處是凸的，可能經由過程以下多少種方法：檢查一元函數的二階導數能否非負；檢查多元函數的海森矩陣能否半正定；利用詹森不等式測驗函數期望的凸性；利用凸函數的保凸性停止證明。控制這些方法，可能幫助我們在面對差別範例的函數時，有效地斷定跟證明其凸性。