在微積分學中，函數乘積的求導法則長短常重要的一個法則。它描述了兩個函數相乘時，其導數與原函數導數之間的關係。簡而言之，若有兩個可導函數f(x)跟g(x)，則它們的乘積h(x) = f(x) * g(x)的導數，可能根據以下公式停止求解：
h'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)
以下是對這一法則的具體證明。
設函數f(x)跟g(x)在點x處可導，根據導數的定義，我們有：
f'(x) = lim_Δx→0 [f(x + Δx) - f(x)] / Δx
g'(x) = lim_Δx→0 [g(x + Δx) - g(x)] / Δx
現在考慮函數h(x) = f(x) * g(x)，我們盼望求出h(x)的導數h'(x)。根據導數的定義，我們有：
h'(x) = lim_Δx→0 [h(x + Δx) - h(x)] / Δx
將h(x)代入上式，掉掉落：
h'(x) = lim_Δx→0 [f(x + Δx) * g(x + Δx) - f(x) * g(x)] / Δx
經由過程增加跟減去f(x) * g(x + Δx)跟f(x + Δx) * g(x)，我們可能將上式轉化為：
h'(x) = lim_Δx→0 [f(x + Δx) * g(x + Δx) - f(x) * g(x + Δx) + f(x) * g(x + Δx) - f(x) * g(x)] / Δx
將其拆分為兩部分：
h'(x) = lim_Δx→0 [f(x + Δx) - f(x)] / Δx * g(x + Δx) + lim_Δx→0 f(x) * [g(x + Δx) - g(x)] / Δx
因為f(x)跟g(x)在x處可導，上述極限存在，因此：
h'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)
如許，我們就實現了函數乘積求導法則的證明。