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在數學分析中，函數的持續性是一個重要的不雅點。一個函數在某一點的持續性，直不雅上意味着該點的函數值與附近點的函數值不突變。 那麼，一個函數要滿意什麼前提才幹被認為是持續的呢？ 起首，我們來總結一下函數持續的定義：假如函數f(x)在點x=a處持續，那麼對咨意小的正數ε，都存在另一個正數δ，使得當x在(a-δ, a+δ)區間內時，f(x)的值都在(f(a)-ε, f(a)+ε)的區間內。 具體地講，函數在某點持續的前提有三個：
- 函數在該點的定義：顯然，假如函數在某個點不定義，它就弗成能在該點持續。
- 函數在該點的極限值存在：假如函數在點a的左極限跟右極限值不相稱，或許其中之一不存在，那麼函數在該點也就不持續。
- 極限值等於函數值：即，當x趨向於a時，f(x)的值必須趨近於f(a)，只有如許，函數在該點才是持續的。 舉例來說，對多項式函數，因為在全部定義域內都是持續的，因此滿意上述持續性的三個前提。 最後，總結一下，一個函數在某點持續，須要滿意：該點有定義，極限值存在且等於函數值。這是函數持續性的核心前提，也是我們在研究數學分析時必須控制的基本知識。