ln x的導函數是什麼

天然對數函數ln x是數學分析中的一個重要函數，它在微積分中有着廣泛的利用。本文將探究ln x的導函數及其性質。 起首，我們給出ln x的導函數的結論：ln x的導函數是1/x。這意味着，對咨意一個正實數x，ln x的渺小變更率（即導數）等於1除以x。 具體地，我們可能經由過程導數的定義來證明這個結論。導數的定義涉及到極限的不雅點，即當自變量的增量趨於0時，函數增量與自變量增量比值的極限。對ln x，其導數的定義如下：      f'(x) = lim (ln(x+Δx) - ln(x)) / Δx      Δx→0 利用對數的性質，我們可能將上式轉化為：      f'(x) = lim ln((x+Δx)/x) / Δx      Δx→0 進一步化簡得：      f'(x) = lim [ln(1+Δx/x)] / Δx      Δx→0 當Δx趨近於0時，ln(1+Δx/x)可能近似為Δx/x（因為ln(1+x)在x趨近於0時的極限是x），所以：      f'(x) = lim 1/x      Δx→0 因此，我們掉掉落了ln x的導數，即1/x。 總結來說，ln x的導函數是1/x，這一性質在數學分析中有着重要的利用，比方在求解天然對數方程跟打算函數的積分時。控制這一性質，有助於我們更深刻地懂得天然對數函數的數學本質跟利用。