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在數學分析中，函數的持續性是一個基本而重要的不雅點。對一元三次函數，其持續性可經由過程定義及導數的性質來證明。本文將具體闡述一元三次函數持續性的證明過程。 一元三次函數一般情勢為f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d為常數，且a不等於0。根據持續函數的定義，若函數在某一點的閣下極限相稱，則該點處函數持續。 對一元三次函數，在實數域R上咨意一點x_0處，要證明其持續性，需滿意以下前提：左極限f(x_0^-)等於右極限f(x_0^+)，即lim(x→x_0^-) f(x) = lim(x→x_0^+) f(x)。 起首，我們來證明一元三次函數在全部實數域上的持續性。因為一元三次函數是多項式函數，多項式函數在其定義域內是持續的，這是數學分析中的一個已知結論。因此，一元三次函數在實數域R上持續。 進一步地，我們可能經由過程導數的性質來證明一元三次函數在咨意一點x_0處的持續性。一元三次函數的導數為f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c。因為導數是持續函數的須要前提，若一元三次函數在某一點可導，則該點處函數持續。因為一元三次函數的導數是一個二次函數，它在實數域R上持續，這意味著原函數f(x)在咨意點x_0處都滿意持續性。 總結而言，一元三次函數無論是在全部實數域R上，還是在咨意一點x_0處，都表示出持續性。這一性質不只由其多項式函數的本質所決定，也經由過程導數的持續性掉掉落了進一步的證明。