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在多少何學中，垂心是一個三角形中非常重要的特別點，它是三角形三條高的交點。在傳統的多少何證明中，我們平日利用多少何定理跟性質來證明垂心的存在。但是，向量作為現代數學的基石之一，也能為我們供給一種簡潔且有力的證明方法。 向量的基本性質告訴我們，假如兩個向量垂直，則它們的點積為零。這一性質可能用來證明三角形的垂心。具體來說，假設有一個三角形ABC，我們想要證明它的垂心H的存在。 起首，我們定義三角形的三個頂點A、B、C對應的向量分辨為 α、β、γ。三角形的每一條邊對應的向量可能經由過程頂點向量相減掉掉落，比方 Δα=β-α，Δβ=γ-β，Δγ=α-γ。 三角形的每一條高都可能表示為頂點到對邊的垂線，即從頂點出發，垂直於對邊的向量。設向量 ω_A、ω_B、ω_C 分辨表示從頂點A、B、C出發，垂直於BC、AC、AB邊的向量。 根據向量的性質，假如 ω_A 確切是從頂點A出發，垂直於BC邊的向量，那麼它應當滿意 ω_A ⊗ Δα = 0，同理 ω_B ⊗ Δβ = 0，ω_C ⊗ Δγ = 0。 經由過程解這些方程，我們可能找到三個垂線向量的具體表達式，它們的交點就是垂心H。這個交點可能經由過程解聯破方程掉掉落，即找到滿意這三個方程的點。 最後，當我們將這三個方程聯破起來求解時，我們會發明存在一個唯一的點滿意前提，這個點就是垂心H。經由過程向量證明垂心的存在，不只展示了向量在多少何學中的富強利用，也讓我們不雅賞到了多少何之美。 總結來說，用向量證明垂心的存在是一種簡潔而優雅的方法。它不只加深了我們對向量多少何性質的懂得，也讓我們對三角形的性質有了更深的認識。