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在向量空間中，基底是由線性有關的一組向量構成的，可能用來表示空間中的任何向量。但是，共線向量卻不克不及作為基底向量，原因何在呢？ 起首，我們須要懂得什麼是共線向量。兩個或多個向量共線，意味著它們位於同一直線上，或許說一個向量可能表示為其他向量的常數倍。比方，向量u跟向量v共線，假如存在一個非零實數k，使得u = kv。 當我們抉擇基底向量時，我們盼望這些向量可能獨破地表示空間中的任何向量。假如基底向量中存在共線向量，那麼這就意味著某些偏向上的表示將會缺掉。以下是共線向量不克不及作為基底向量的多少個重要原因：
- 線性組合的唯一性：基底向量的目標是為了經由過程線性組合來表示空間中的任何向量。假如基底向量中存在共線向量，那麼表示同一個向量的線性組合將不再唯一。因為共線向量可能經由過程差其余常數倍來相互調換，這會招致表示的混亂跟不唯一。
- 偏向的缺掉：共線向量共享同一直線，因此它們無法覆蓋向量空間中的全部偏向。在三維空間中，三個基底向量平日被用來覆蓋全部可能的偏向，假如其中兩個共線，那麼第三個向量無論抉擇怎樣，都無法補充這個偏向上的空白。
- 維度降落：基底向量的數量應當等於向量空間的維度。假如基底向量中包含共線向量，那麼現實上我們並倒黴用到空間的全部維度，這會招致全部空間的維度被降落。 總結來說，共線向量不克不及作為基底向量，因為它們會破壞線性組合的唯一性，招致偏向表示的缺掉，並可能降落全部空間的維度。因此，在構建基底時，我們必須確保全部向量都是線性有關的。