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在數學分析中，極限函數的持續性是一個重要的不雅點。本文旨在探究怎樣證明極限函數的持續性，以幫助讀者深刻懂得這一數學性質。 起首，我們須要明白持續性的定義。一個函數f(x)在點x=a處持續，當且僅當以下三個前提同時滿意：（1）f(a)存在；（2）極限lim(x→a)f(x)存在；（3）兩者相稱，即f(a)=lim(x→a)f(x)。 針對極限函數持續性的證明，我們可能採用以下步調：
- 直接證明法：經由過程直接打算極限值，證明其與函數值相稱，從而證明持續性。比方，對f(x)=x²，在x=a處，我們有f(a)=a²，而lim(x→a)x²=a²，因此f(x)=x²在咨意點a處持續。
- 極限保號性：若函數在某個區間內保持標記穩定，則可能利用極限保號性證明持續性。比方，對f(x)=|x|，在x=0處，我們有f(0)=0，而lim(x→0)|x|=0，因此f(x)=|x|在x=0處持續。
- 利用已知持續函數的性質：若一個函數由已知持續函數經過四則運算、複合等變更掉掉落，則可能利用已知持續函數的性質證明其持續性。比方，若f(x)跟g(x)在點a處持續，則f(x)+g(x)、f(x)g(x)等組合函數在點a處也持續。 總結，證明極限函數的持續性有多種方法，如直接證明法、極限保號性、利用已知持續函數的性質等。經由過程這些方法，我們可能深刻懂得極限函數的持續性，並為後續數學分析的進修打下堅固基本。