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在數學跟物理學中，向量的投影是一個重要的不雅點，它描述了一個向量在另一個向量偏向上的分量。本文將具體闡明兩個向量投影公式的推導過程。
起首，我們總結一下向量投影的基本頭腦。給定兩個向量 α 跟 β，我們想要找到向量 α 在向量 β 偏向上的投影向量 β'。這個投影向量是 β 的一個標量倍，它存在與 β 雷同的偏向，但長度可能差別。
具體的推導步調如下：
- 我們起首定義兩個向量的點積（內積）公式：α ⊗ β = |α| |β| cos(θ)，其中 θ 是向量 α 跟向量 β 之間的夾角。
- 投影向量 β' 的長度可能經由過程以下方法打算：proj_{β}α = (α ⊗ β) / |β|^2 β。這裡，|β|^2 是向量 β 長度的平方，確保了投影向量與 β 同向。
- 我們可能將點積的成果代入，掉掉落：proj_{β}α = (|α| |β| cos(θ)) / |β|^2 β。
- 簡化這個表達式，我們掉掉落：proj_{β}α = (|α| cos(θ)) / |β| β。這標明，向量 α 在向量 β 偏向上的投影長度等於 α 的長度乘以它們夾角的餘弦值，再除以 β 的長度。
經由過程以上步調，我們推導出了兩個向量之間的投影公式。這個公式在很多範疇都有利用，比方物理學中的力剖析，打算機圖形學中的暗影打算等。
總結一下，我們經由過程點積的不雅點，推導出了向量投影的數學公式。這個公式不只簡潔，並且存在廣泛的利用價值，是線性代數中的一個重要東西。