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在数学中，导数是研究函数变化率的重要工具，它在求解函数最值问题中起着关键作用。本文将总结如何使用导数求解函数最值的公式，并举例说明其应用。 函数最值分为最大值和最小值，通常出现在实际问题的优化过程中。对于连续函数f(x)，在闭区间[a, b]上，如果存在某个点x0，使得对于所有x属于[a, b]，都有f(x) ≤ f(x0)（对于最大值）或f(x) ≥ f(x0)（对于最小值），那么f(x0)就是函数在闭区间[a, b]上的最大值或最小值。 求解最值的导数公式主要有以下几种情况：
- 局部最值：如果函数在某点的导数为0，且在该点的左侧导数为正（对于局部最小值），右侧导数为负（对于局部最大值），或者相反，那么该点可能是局部最值点。具体来说，如果f'(x)在x0处由正变负，那么f(x0)可能是局部最大值；如果f'(x)在x0处由负变正，那么f(x0)可能是局部最小值。
- 端点最值：在闭区间[a, b]上，端点a和b处的函数值也需要考虑，因为它们可能是最值点。
- 应用实例：设函数f(x) = x^2 - 4x + 5，我们要求在闭区间[1, 3]上的最大值和最小值。首先求导得到f'(x) = 2x - 4。令f'(x) = 0，解得x = 2。检查x = 2处的导数符号变化，发现在x = 2处，导数由负变正，因此f(x)在x = 2处有局部最小值。计算f(2) = 2^2 - 4*2 + 5 = 1，所以局部最小值为1。接下来比较端点值f(1) = 2和f(3) = 2，得出在闭区间[1, 3]上，函数的最大值为3，最小值为1。 总结来说，通过导数求解函数最值是一种有效的方法。了解导数与函数最值之间的关系，可以帮助我们更快地找到函数的最大值和最小值，从而解决实际问题中的优化问题。