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在数学分析中，研究函数的凹凸性对于理解函数的性质具有重要意义。一个函数是下凹的，如果其图像位于其任意两点连线的下方。本文将详细探讨判定函数下凹的条件。 首先，对于一个连续可微的函数f(x)，其下凹性的判定可以通过以下条件进行：一阶导数f'(x)单调递增；二阶导数f''(x)大于0。当这两个条件同时满足时，可以断定函数是下凹的。 详细来说，一阶导数f'(x)反映了函数图像的斜率变化。若f'(x)在定义域内单调递增，意味着函数图像在向右移动时，斜率不断增加，这为函数的下凹性提供了基础。而二阶导数f''(x)，又称作凹凸指示器，当f''(x) > 0时，表明函数图像在任何一点上都处于下凹状态。 此外，从几何角度理解，函数下凹意味着函数图像上任意两点间的线段都位于图像下方，这保证了函数图像呈现为一个向上开口的抛物线形状。在实际应用中，下凹函数具有很多良好的性质，例如在经济学中的边际效用递减原则。 总结而言，判定一个连续可微函数为下凹的关键在于其一阶导数的单调递增性和二阶导数的大于0。这两个条件确保了函数图像的凹性，为函数的分析和应用提供了理论基础。