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在统计学与概率论中，期望值Ex是一个非常重要的概念，它代表了一个随机变量取值的加权平均，权重即为各个取值的概率。对于连续型随机变量，我们通常使用概率密度函数（PDF）来求解期望值。本文将详细介绍如何通过概率密度函数求连续型随机变量的期望值Ex。 首先，期望值的定义是随机变量X的所有可能取值x与其概率的乘积之和。对于连续型随机变量，这个求和变成了积分，即： Ex = ∫(x * f(x) dx)，积分范围是从负无穷到正无穷。 其中，f(x)是随机变量X的概率密度函数。由于概率密度函数本身并不是概率，而是概率的密度，因此，求解期望值实际上是在计算加权积分。 接下来，我们通过以下步骤详细描述如何求出期望值：
- 确定随机变量的概率密度函数f(x)。这一步是基础，只有正确地确定了概率密度函数，才能保证后续计算的正确性。
- 将概率密度函数f(x)代入期望值的积分公式中，即计算积分∫(x * f(x) dx)。
- 计算该积分。这个过程可能涉及换元积分、分部积分等积分技巧，具体取决于概率密度函数的复杂性。
- 得出期望值Ex的结果。将积分的结果作为期望值Ex的值。 最后，通过以上步骤，我们可以得出连续型随机变量的期望值。这个期望值在理论上可以给出随机变量取值的平均水平，对于理解随机变量的中心趋势有重要意义。 总结来说，通过概率密度函数求连续型随机变量的期望值Ex，本质上是计算一个加权积分，这个过程涉及概率密度函数的正确确定和积分技巧的应用。