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在数学分析中，连续函数是可导函数的基础。一般来说，如果一个函数在某一点可导，那么它在该点一定连续。但反之则不一定成立，即连续函数不一定可导。那么，连续函数需要具备哪些条件才能可导呢？ 首先，我们回顾一下连续性和可导性的定义。一个函数在某点连续，意味着该点的左极限和右极限相等，即函数图像没有“跳跃”。而一个函数在某点可导，则要求该点的左导数和右导数都存在且相等，即函数图像在这一点附近可以近似为一条直线。 一个连续函数要可导，首先它必须在定义域内的每一点都连续。此外，以下两个条件是连续函数可导的重要依据：
- 局部有界性：如果函数在某一区间内可导，则在该区间内，函数必须是有界的，即存在一个实数M，使得对于该区间内任意一点x，有|f(x)|≤M。
- 局部可微性：在连续函数的某点邻域内，如果函数的增量比变化率小，即极限lim┬(Δx→0)(Δy/Δx)存在，则该点可微，从而可导。 举个例子，绝对值函数f(x)=|x|在x=0处连续，但由于在x=0处左导数和右导数不相等，因此不可导。但如果对函数进行轻微的修改，如使用f(x)=x²在x=0附近，则该函数在整个实数轴上都是可导的。 总结来说，一个连续函数要可导，必须满足在定义域内连续，具有局部有界性和局部可微性。这些条件保证了函数图像在每一点附近都可以近似为一条直线，从而使得连续函数具有了可导性。