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在數學分析中，持續函數是可導函數的基本。一般來說，假如一個函數在某一點可導，那麼它在該點一定持續。但反之則不一定成破，即持續函數不一定可導。那麼，持續函數須要具有哪些前提才幹可導呢？ 起首，我們回想一下持續性跟可導性的定義。一個函數在某點持續，意味著該點的左極限跟右極限相稱，即函數圖像不「騰躍」。而一個函數在某點可導，則請求該點的左導數跟右導數都存在且相稱，即函數圖像在這一點附近可能近似為一條直線。 一個持續函數要可導，起首它必須在定義域內的每一點都持續。其余，以下兩個前提是持續函數可導的重要根據：
- 部分有界性：假如函數在某一區間內可導，則在該區間內，函數必須是有界的，即存在一個實數M，使得對該區間內咨意一點x，有|f(x)|≤M。
- 部分可微性：在持續函數的某點鄰域內，假如函數的增量比變更率小，即極限lim┬(Δx→0)(Δy/Δx)存在，則該點可微，從而可導。 舉個例子，絕對值函數f(x)=|x|在x=0處持續，但因為在x=0處左導數跟右導數不相稱，因此弗成導。但假如對函數停止略微的修改，如利用f(x)=x²在x=0附近，則該函數在全部實數軸上都是可導的。 總結來說，一個持續函數要可導，必須滿意在定義域內持續，存在部分有界性跟部分可微性。這些前提保證了函數圖像在每一點附近都可能近似為一條直線，從而使得持續函數存在了可導性。