两向量叉乘为什么是垂直

向量叉乘是线性代数中的重要概念，它在几何和物理学等多个领域有着广泛的应用。两向量叉乘的结果向量有一个独特的性质，即它垂直于原来的两个向量。本文将探讨这一性质的原因。

首先，我们简要回顾一下两向量叉乘的定义。在三维空间中，给定两个非零向量 α 和 β，它们的叉乘结果向量 α × β 可以通过右手定则来确定：伸开右手，让手指从向量 α 指向向量 β 的方向，那么大拇指的方向就是叉乘结果的方向。数学上，叉乘可以表示为 α × β = |α| |β| sin(θ) n，其中 |α| 和 |β| 分别是向量的模长，θ 是两向量之间的夹角，n 是与两向量所在平面垂直的单位向量。

为什么两向量的叉乘结果垂直于原来的向量呢？这可以从向量的几何意义和数学推导两个方面来解释。

从几何意义上来看，叉乘实际上表示了由向量 α 和向量 β 张成的平行四边形的面积。当我们考虑平行四边形的一个边作为向量 α，另一个边作为向量 β 时，垂直于这个平行四边形的高恰好就是叉乘的结果向量。显然，这个高是垂直于底边的，即垂直于向量 α 和 β。

从数学推导上，我们可以通过点乘的性质来证明这一点。两个向量的点乘定义为 α ⊗ β = |α| |β| cos(θ)。如果两向量叉乘的结果向量与其中一个向量点乘为0，那么它们是垂直的。因为对于任意向量 α 和 α × β，我们有 (α × β) ⊗ α = 0 和 (α × β) ⊗ β = 0，这证明了叉乘结果向量与原来的两个向量都是垂直的。

总结来说，两向量叉乘的垂直性是它们几何性质和数学定义的直接结果。这一性质使得叉乘在解决几何问题和物理学中的力矩计算等方面非常有用。