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在數學分析中，一個函數F被稱為另一個函數f的原函數，假如F的導數等於f。換句話說，原函數的求解是微積分基本定理的一個重要利用。本文將具體探究怎樣證明一個函數F是另一個函數f的原函數。 起首，我們須要懂得原函數的定義。假如F(x)是f(x)的一個原函數，那麼對全部定義域內的x，都有F'(x) = f(x)。這意味着要證明F是f的原函數，我們須要驗證以下兩個前提：
- F(x)在定義域內可導。
- F'(x)與f(x)在每一點上相稱。 為了證明F是f的原函數，我們可能採取以下步調： 步調一：驗證F(x)的可導性。我們須要證明F(x)在其定義域內是持續的，並且存在導數。 步調二：打算F'(x)。經由過程求導法則，我們打算F(x)的導數，並掉掉落F'(x)的表達式。 步調三：比較F'(x)與f(x)。將F'(x)的表達式與f(x)停止比較，假如它們在定義域內的每一點上都相稱，那麼F(x)就是f(x)的原函數。 舉個例子，假設f(x) = 3x^2，我們要證明F(x) = x^3是f(x)的原函數。按照上述步調：
- 起首，我們曉得x^3是一個在實數域上持續且可導的函數。
- 其次，我們打算x^3的導數，掉掉落F'(x) = 3x^2。
- 最後，我們發明F'(x)與f(x)相稱，因此F(x) = x^3是f(x) = 3x^2的原函數。 總結來說，證明一個函數F是另一個函數f的原函數，關鍵在於驗證F的可導性以及F'與f的相稱性。這個證明過程不只加深了我們對微積分基本定理的懂得，也為處理現實成績供給了重要東西。