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在數學分析中，函數的極值是重要的研究內容，它對懂得函數的性質跟圖像有側重要的意思。那麼，函數在什麼前提下才會存在極值呢？ 起首，我們須要明白極值的定義。函數在某點的極值，指的是在這個點的鄰域內，該函數值要麼是最大年夜值，要麼是最小值。具體來說，存在以下前提：
- 持續性：函數必須在極值點處持續。假如函數在某點不持續，那麼這個點弗成能是極值點。
- 可導性：函數在極值點處的導數必須存在，且為0。這是極值點的須要前提，但不是充分前提。導數為0的點稱為駐點。
- 變號性：在極值點左側跟右側，函數的導數標記必須相反。也就是說，假如極值點是部分最大年夜值，那麼在它左側導數為正，在它右側導數為負；假如極值點是部分最小值，則相反。 其余，另有一個更細緻的前提是二階導數的標記。假如函數在駐點的二階導數大年夜於0，那麼這個點是一個部分最小值；假如二階導數小於0，那麼這個點是一個部分最大年夜值。 總結來說，一個函數在某點存在極值的前提是：該點持續、可導，其一階導數為0，且在這一點二階導數的標記與極值的範例（最大年夜值或最小值）絕對應。 須要注意的是，以上前提僅能保證函數在這些點可能存在極值，要斷定能否真的是極值，還須要進一步的驗證，比方利用導數的單調性停止斷定。 經由過程分析函數的極值前提，我們可能更好地懂得函數的部分性質，這對處理現實成績，如最優化成績等，有側重要的利用價值。