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引言
疾速傅里葉變更（FFT）是一種高效的演算法，用於將時域旌旗燈號轉換為頻域旌旗燈號。在數字旌旗燈號處理、圖像處理跟通信體系中，FFT演算法扮演著至關重要的角色。本文將深刻探究C言語中FFT演算法的實現，提醒其高效性的奧秘。
傅里葉變更基本
團圓傅里葉變更（DFT）
團圓傅里葉變更（DFT）是傅里葉變更在團圓旌旗燈號上的利用。它將一個旌旗燈號從時域轉換到頻域，提醒旌旗燈號的頻率因素。DFT的數學公式如下： [ X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) \cdot e^{-j \cdot 2\pi \cdot k \cdot n / N} ] 其中，( X(k) ) 是頻率域旌旗燈號，( x(n) ) 是時光域旌旗燈號，( N ) 是旌旗燈號的長度。
疾速傅里葉變更（FFT）
疾速傅里葉變更（FFT）是一種高效打算DFT的演算法，可能將打算複雜度從 ( O(N^2) ) 降落到 ( O(N \log N) )。FFT的核心頭腦是分治法，將一個大年夜成績剖析為多個小成績逐步處理。
C言語實現FFT的步調
1. 定義複數構造
在C言語中，不內置的複數範例，我們須要定義一個複數構造來表示複數。
typedef struct {
double real;
double imag;
} Complex;
2. 複數的基本操縱
實現複數的加法、減法、乘法跟除法函數。
Complex add(Complex a, Complex b) {
Complex result;
result.real = a.real + b.real;
result.imag = a.imag + b.imag;
return result;
}
Complex sub(Complex a, Complex b) {
Complex result;
result.real = a.real - b.real;
result.imag = a.imag - b.imag;
return result;
}
Complex mul(Complex a, Complex b) {
Complex result;
result.real = a.real * b.real - a.imag * b.imag;
result.imag = a.real * b.imag + a.imag * b.real;
return result;
}
Complex div(Complex a, Complex b) {
Complex result;
double denom = b.real * b.real + b.imag * b.imag;
result.real = (a.real * b.real + a.imag * b.imag) / denom;
result.imag = (a.imag * b.real - a.real * b.imag) / denom;
return result;
}
3. 位反轉
在FFT演算法中，數據須要按照二進位位反轉的次序停止處理。位反轉函數可能自定義實現。
int reverseBits(int n, int bits) {
int reversed = 0;
for (int i = 0; i < bits; i++) {
reversed = (reversed << 1) | (n & 1);
n >>= 1;
}
return reversed;
}
4. 蝶形運算
蝶形運算是FFT演算法的核心部分，包含複數乘法跟加法，其情勢類似於蝴蝶的外形，因此得名。
void butterfly(Complex x[], int n) {
for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
Complex t = mul(x[i + n / 2], x[0]);
x[i + n / 2] = sub(x[i], t);
x[i] = add(x[i], t);
}
}
5. 遞歸實現
遞歸實現是FFT演算法的經典方法，它經由過程遞歸挪用本身來處理剖析後的子成績。
void fft(Complex x[], int n) {
if (n <= 1) return;
Complex even[n / 2];
Complex odd[n / 2];
for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
even[i] = x[2 * i];
odd[i] = x[2 * i + 1];
}
fft(even, n / 2);
fft(odd, n / 2);
for (int k = 0; k < n / 2; k++) {
Complex t = mul(x[0], cexp(-2 * M_PI * I * k / n));
x[k] = add(even[k], mul(t, odd[k]));
x[k + n / 2] = sub(even[k], mul(t, odd[k]));
}
}
總結
經由過程以上步調，我們可能利用C言語實現FFT演算法。FFT演算法的高效性在於其利用了DFT的對稱性跟周期性，經由過程分治法將打算複雜度從 ( O(N^2) ) 降落到 ( O(N \log N) )。這使得FFT演算法在數字旌旗燈號處理、圖像處理跟通信體系中掉掉落了廣泛利用。