二阶偏导数z=xy怎么求

在多变量微积分中，求解二阶偏导数对于理解函数的曲率等性质至关重要。对于特定的函数z=xy，我们将探讨其二阶偏导数的求解方法。 首先，我们需要理解什么是偏导数。偏导数是指在一个或多个变量保持不变的情况下，多元函数关于一个变量的导数。对于函数z=xy，我们有两个一阶偏导数：∂z/∂x和∂z/∂y。 求解二阶偏导数，我们需要分别对这两个一阶偏导数再次求导。具体来说，二阶偏导数包括∂²z/∂x²、∂²z/∂y²和∂²z/∂x∂y。

1. 对x求偏导得到一阶偏导数∂z/∂x = y。
2. 对y求偏导得到一阶偏导数∂z/∂y = x。 接下来，我们对这两个一阶偏导数分别再次对x和y求偏导：
3. 对∂z/∂x = y再次对x求偏导，得到二阶偏导数∂²z/∂x² = 0，因为y是常数。
4. 对∂z/∂x = y再次对y求偏导，得到二阶偏导数∂²z/∂x∂y = 1，因为此时y对自身的偏导数为1。
5. 对∂z/∂y = x再次对y求偏导，得到二阶偏导数∂²z/∂y² = 0，因为x是常数。
6. 对∂z/∂y = x再次对x求偏导，得到二阶偏导数∂²z/∂y∂x = 1，由于二阶偏导数关于变量的顺序是对称的，所以这个结果与∂²z/∂x∂y相同。 总结，对于函数z=xy，其二阶偏导数为：∂²z/∂x² = 0，∂²z/∂y² = 0，∂²z/∂x∂y = 1。这些二阶偏导数可以提供关于函数曲率和极值点的重要信息。