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微积分是高等数学中的重要分支，主要研究的是函数的极限、导数、积分等概念。有范围的微积分，即考虑函数在特定区间上的性质和运算。以下是几个典型的有范围的微积分例题及其解析。
例题一：设函数f(x) = x^2 在区间[0, 1]上，求f(x)在区间[0, 1]上的定积分。 解析：利用定积分的基本性质，可以直接计算f(x)在[0, 1]上的定积分为(1/3)x^3在0和1的差的值，即(1/3) * 1^3 - (1/3) * 0^3 = 1/3。
例题二：已知函数g(x) = e^x 在区间[-1, 2]上，求g(x)在该区间上的平均值。 解析：平均值公式为区间内函数值的积分除以区间长度。因此，g(x)在[-1, 2]上的平均值为∫(from -1 to 2) e^x dx / (2 - (-1))。计算该积分得到(e^2 - 1/e) / 3。
例题三：函数h(x) = sin(x) 在区间[π/4, 3π/4]上，求h(x)的最大值和最小值。 解析：首先求导数h'(x) = cos(x)，然后分析在给定区间内的增减性。在[π/4, 3π/4]区间，cos(x)先减小后增大，因此sin(x)在此区间内先增后减。最大值出现在区间的中点，即sin(π/2) = 1，最小值出现在端点，为sin(π/4)和sin(3π/4)中的较小者。
总结：有范围的微积分例题通过设定特定的区间，考察了学生对函数性质、积分、导数等概念的理解。解决这类问题的关键是掌握基本的积分技巧、导数应用以及函数的增减性质。