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函数导数是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。在解决实际问题时，函数导数的应用能够帮助我们更好地理解函数的局部性质。本文将通过几个典型的例题，来展示如何运用函数导数法解决实际问题。
例题一：求函数f(x) = x^2在点x = 2处的导数。 解答：根据导数的定义，f'(x) = lim(Δx→0) [(f(x+Δx) - f(x)) / Δx]。对于f(x) = x^2，代入x = 2，得到f'(2) = lim(Δx→0) [(2+Δx)^2 - 2^2) / Δx] = lim(Δx→0) [4 + 4Δx + Δx^2 - 4) / Δx] = lim(Δx→0) [4Δx + Δx^2) / Δx] = 4。
例题二：已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f(x)的临界点。 解答：临界点是函数导数为0或不存在的点。首先求导f'(x) = 3x^2 - 3。令f'(x) = 0，得到3x^2 - 3 = 0，解得x = ±1。因此，f(x)的临界点为x = -1和x = 1。
例题三：判断函数f(x) = e^x在定义域内的单调性。 解答：函数的单调性可以通过导数的符号来判断。对于f(x) = e^x，其导数f'(x) = e^x。由于e^x总是大于0，因此f(x)在其定义域内是单调递增的。
通过以上例题，我们可以看到函数导数在解决具体问题时的应用。掌握函数导数的计算方法和其背后的数学原理，能够帮助我们更加深入地理解函数的性质，从而解决实际问题。