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微積分是高等數學中的重要分支，重要研究的是函數的極限、導數、積分等不雅點。有範疇的微積分，即考慮函數在特定區間上的性質跟運算。以下是多少個典範的有範疇的微積分例題及其剖析。
例題一：設函數f(x) = x^2 在區間[0, 1]上，求f(x)在區間[0, 1]上的定積分。 剖析：利用定積分的基本性質，可能直接打算f(x)在[0, 1]上的定積分為(1/3)x^3在0跟1的差的值，即(1/3) * 1^3 - (1/3) * 0^3 = 1/3。
例題二：已知函數g(x) = e^x 在區間[-1, 2]上，求g(x)在該區間上的均勻值。 剖析：均勻值公式為區間內函數值的積分除以區間長度。因此，g(x)在[-1, 2]上的均勻值為∫(from -1 to 2) e^x dx / (2 - (-1))。打算該積分掉掉落(e^2 - 1/e) / 3。
例題三：函數h(x) = sin(x) 在區間[π/4, 3π/4]上，求h(x)的最大年夜值跟最小值。 剖析：起首求導數h'(x) = cos(x)，然後分析在給定區間內的增減性。在[π/4, 3π/4]區間，cos(x)先減小後增大年夜，因此sin(x)在此區間內先增後減。最大年夜值呈現在區間的中點，即sin(π/2) = 1，最小值呈現在端點，為sin(π/4)跟sin(3π/4)中的較小者。
總結：有範疇的微積分例題經由過程設定特定的區間，考察了老師對函數性質、積分、導數等不雅點的懂得。處理這類成績的關鍵是控制基本的積分技能、導數利用以及函數的增減性質。