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在数学分析中，求三角函数组合的导数是一项基本技能。本文将详细探讨函数 y = cos(x) 1 - sin(x) 的导数计算过程。
首先，我们来看这个函数的简化形式：y = cos(x) + sin(x)。为了求导，我们需要运用三角函数的和差化积公式。但是，在原函数中，我们看到的是 1 - sin(x)，而不是 + sin(x)。为了处理这个形式，我们可以将其看作是 cos(x) + sin(x) 的变形，其中 cos(x) 被替换为 cos(x) 乘以 1，而 1 可以视为 cos(0)。这样，我们可以将原函数重写为 y = cos(x)cos(0) + sin(x)sin(0)，然后利用三角恒等式 cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)，得到 y = cos(x - 0) = cos(x)。
现在，我们可以明确地说，原函数实际上等同于 y = cos(x)，因此它的导数就是 -sin(x)。但是，为了展示完整的求导过程，我们将从原函数 y = cos(x) 1 - sin(x) 开始。
求导步骤如下：
- 使用乘积法则和链式法则。
- 对于 cos(x) 和 1 - sin(x) 分别求导。
- cos(x) 的导数是 -sin(x)。
- 1 - sin(x) 的导数是 -cos(x)。
- 结合乘积法则，我们得到 y' = -sin(x) * (1 - sin(x)) + cos(x) * (-cos(x))。
- 简化表达式，得到 y' = -sin(x) + sin^2(x) - cos^2(x)。
- 利用三角恒等式 sin^2(x) + cos^2(x) = 1，简化表达式为 y' = -sin(x) + 1 - 1。
- 最终，我们得到 y' = -sin(x)，这就是 y = cos(x) 1 - sin(x) 的导数。
总结来说，通过仔细的应用三角函数的导数规则和恒等式，我们得出了函数 y = cos(x) 1 - sin(x) 的导数为 -sin(x)。这一过程不仅加深了我们对三角函数导数的理解，也展示了数学恒等式在简化问题中的重要作用。