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在數學分析中，求三角函數組合的導數是一項基本技能。本文將具體探究函數 y = cos(x) 1 - sin(x) 的導數打算過程。
起首，我們來看這個函數的簡化情勢：y = cos(x) + sin(x)。為了求導，我們須要應用三角函數的跟差化積公式。但是，在原函數中，我們看到的是 1 - sin(x)，而不是 + sin(x)。為了處理這個情勢，我們可能將其看作是 cos(x) + sin(x) 的變形，其中 cos(x) 被調換為 cos(x) 乘以 1，而 1 可能視為 cos(0)。如許，我們可能將原函數重寫為 y = cos(x)cos(0) + sin(x)sin(0)，然後利用三角恆等式 cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)，掉掉落 y = cos(x - 0) = cos(x)。
現在，我們可能明白地說，原函數現實上同等於 y = cos(x)，因此它的導數就是 -sin(x)。但是，為了展示完全的求導過程，我們將從原函數 y = cos(x) 1 - sin(x) 開端。
求導步調如下：
- 利用乘積法則跟鏈式法則。
- 對 cos(x) 跟 1 - sin(x) 分辨求導。
- cos(x) 的導數是 -sin(x)。
- 1 - sin(x) 的導數是 -cos(x)。
- 結合乘積法則，我們掉掉落 y' = -sin(x) * (1 - sin(x)) + cos(x) * (-cos(x))。
- 簡化表達式，掉掉落 y' = -sin(x) + sin^2(x) - cos^2(x)。
- 利用三角恆等式 sin^2(x) + cos^2(x) = 1，簡化表達式為 y' = -sin(x) + 1 - 1。
- 終極，我們掉掉落 y' = -sin(x)，這就是 y = cos(x) 1 - sin(x) 的導數。
總結來說，經由過程細心的利用三角函數的導數規矩跟恆等式，我們得出了函數 y = cos(x) 1 - sin(x) 的導數為 -sin(x)。這一過程不只加深了我們對三角函數導數的懂得，也展示了數學恆等式在簡化成績中的重要感化。