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複變函數是數學中的一個重要分支，重要研究的是定義在複平面上的複數值函數。簡而言之，複變函數就是以複數作為輸入跟輸出的函數。 複數由實部跟虛部構成，情勢為a+bi，其中i是虛數單位，滿意i^2=-1。當我們念刀複變函數時，我們現實上是在探究在複平面上怎樣將每一個點映射到另一個點的規矩。 複變函數分支之所以獨特且重要，原因有三。起首，它擁有持續性。在複平面上，一個點的鄰域老是存在的，這使得複變函數存在持續性。其次，複變函數存在剖析性，即它們可能經由過程冪級數開展，這為剖析函數的研究供給了富強的東西。最後，複變函數現實在多個範疇都有廣泛利用，如電氣工程、量子物理跟流旅力學等。 在具體描述複變函數之前，我們須要懂得複平面。複平面上的每一點代表一個複數，橫坐標代表實部，縱坐標代表虛部。複變函數經由過程對複平面上的點停止操縱，將每個點映射到另一個點。 複變函數的多少個基本不雅點包含：可導性、積分跟殘數。可導性是函數在一點附近的行動，一個可導的複變函數在部分存在很好的性質。積分在複變函數中起著核心感化，尤其是柯西積分定理跟柯西積分公式，它們為處理複變函數成績供給了富強的東西。而殘數則是剖析函數的一個特別性質，用於打算閉合曲線上的積分。 總結來說，複變函數分支是數學中一個深奧且富有魅力的範疇。它不只擁有獨特的美學價值，並且在科學與工程的多個分支中發揮著關鍵感化。對進修數學跟相幹範疇的老師來說，控制複變函數現實無疑是一項寶貴的技能。