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解齊次線性方程組是線性代數中的一個重要內容，重要涉及矩陣的運算跟行列式的性質。本文經由過程一個例題，具體闡述解齊次線性方程組的過程。
起首，我們定義什麼是齊次線性方程組。一個包含n個未知數的m個方程構成的方程組，若每個方程都是線性的，並且方程右側的常數項全為0，則稱該方程組為齊次線性方程組。
下面是一個具體的例題： 給定方程組： 2x + 3y - z = 0 4x + y + 5z = 0 -x + 2y + 3z = 0 我們須要找到這個方程組的非零解（基本解系）。
解法如下：
- 將方程組寫成增廣矩陣的情勢，即將係數跟常數項合併。 增廣矩陣： [2 3 -1 | 0] [4 1 5 | 0] [-1 2 3 | 0]
- 利用高斯消元法將增廣矩陣轉化為行最簡情勢。 經過行變更後的矩陣： [1 0 8/7 | 0] [0 1 -3/7 | 0] [0 0 0 | 0]
- 從行最簡情勢中，我們可能看出z可能取咨意值，因此設z = t（t為咨意實數）。 則對應的解為： x = 0，y = 3t/7，z = t
- 寫出方程組的通解。 方程組的通解為： x = 0，y = 3t/7，z = t 其中t為咨意實數。
經由過程這個例題，我們可能看到解齊次線性方程組的關鍵步調是利用高斯消元法將方程組轉化為行最簡情勢，然後根據自由未知數寫出方程組的通解。
總結，解齊次線性方程組的過程重要包含：定義方程組、寫出增廣矩陣、高斯消元、斷定自由未知數、寫出通解。