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在數學分析中，以天然底數e為底的對數函數的導數存在一個非常簡潔的情勢。本文將具體介紹怎樣打算以e為底的對數函數的導數，並闡明其背後的數學道理。 起首，我們須要曉得對數函數的基本情勢，即以e為底的對數函數為ln(x)。對數函數的導數表示該函數在某一點的瞬時變更率。對ln(x)，其導數為1/x。 具體地，我們可能經由過程導數的定義來證明這一點。導數的定義是函數在某一點的極限值，即當自變數趨近於該點時的變更率。對ln(x)在點x的導數，其定義如下： f'(x) = lim_Δx→0 [ln(x + Δx) - ln(x)] / Δx 利用對數的減法法則，我們可能將上式轉化為： f'(x) = lim_Δx→0 ln[(x + Δx) / x] / Δx 因為當Δx趨近於0時，(x + Δx) / x趨近於1，我們可能進一步化簡為： f'(x) = lim_Δx→0 ln(1 + Δx/x) / Δx 利用泰勒開展，我們可能將ln(1 + Δx/x)開展為： f'(x) ≈ Δx/x - (Δx)^2/(2x^2) + ... 在Δx趨近於0時，高階項可能忽視不計，因此： f'(x) = 1/x 這就證明白以e為底的對數函數在咨意點x的導數是1/x。 總結，以e為底的對數函數ln(x)的導數為1/x。這一結論在數學分析跟工程打算中存在重要意思，因為它簡化了對數函數導數的打算，並為後續的數學推導供給了便利。