如何求x2ex的原函数

在数学分析中，求解函数的原函数是一项基本技能，尤其在计算不定积分时尤为重要。本文将详细介绍如何求解x²ex的原函数。 首先，我们需要明确原函数的概念。原函数指的是一个函数的不定积分，即F(x)是f(x)的一个原函数，当且仅当F'(x) = f(x)。对于x²ex这个函数，我们要求其原函数。 求原函数的常规方法是分部积分法。以下是求解x²ex原函数的详细步骤：

1. 设原函数为F(x)，即F(x) = ∫x²exdx。
2. 使用分部积分公式，设u = x²，dv = exdx，则du = 2xdx，v = ex。
3. 根据分部积分公式 ∫udv = uv - ∫vdu，我们有：     ∫x²exdx = x²ex - ∫ex(2x)dx。
4. 对右边的积分再次应用分部积分法，设u = 2x，dv = exdx，则du = 2dx，v = ex。
5. 重复分部积分公式，得到：     x²ex - 2∫xexdx = x²ex - 2xex + 2∫exdx。
6. 对于∫exdx，我们知道其原函数是ex本身，所以：     F(x) = x²ex - 2xex + 2ex + C。
7. 最终，x²ex的原函数为F(x) = x²ex - 2xex + 2ex + C，其中C是积分常数。 总结，求解x²ex的原函数通过分部积分法可以得到解决。这个例子展示了分部积分在求解复杂函数原函数时的强大作用。掌握分部积分法对于深入学习高等数学至关重要。