如何求x2ex的原函數

在數學分析中，求解函數的原函數是一項基本技能，尤其在打算不定積分時尤為重要。本文將具體介紹怎樣求解x²ex的原函數。 起首，我們須要明白原函數的不雅點。原函數指的是一個函數的不定積分，即F(x)是f(x)的一個原函數，當且僅當F'(x) = f(x)。對x²ex這個函數，我們請求其原函數。 求原函數的慣例方法是分部積分法。以下是求解x²ex原函數的具體步調：

1. 設原函數為F(x)，即F(x) = ∫x²exdx。
2. 利用分部積分公式，設u = x²，dv = exdx，則du = 2xdx，v = ex。
3. 根據分部積分公式 ∫udv = uv - ∫vdu，我們有：     ∫x²exdx = x²ex - ∫ex(2x)dx。
4. 對左邊的積分再次利用分部積分法，設u = 2x，dv = exdx，則du = 2dx，v = ex。
5. 重複分部積分公式，掉掉落：     x²ex - 2∫xexdx = x²ex - 2xex + 2∫exdx。
6. 對∫exdx，我們曉得其原函數是ex本身，所以：     F(x) = x²ex - 2xex + 2ex + C。
7. 終極，x²ex的原函數為F(x) = x²ex - 2xex + 2ex + C，其中C是積分常數。 總結，求解x²ex的原函數經由過程分部積分法可能掉掉落處理。這個例子展示了分部積分在求解複雜函數原函數時的富強感化。控制分部積分法對深刻進修高等數學至關重要。