什麼函數求導之後是cosx的平方

在數學的世界中，我們常常會碰到各種風趣的成績，其中一個風趣的成績就是：能否存在一個函數，其求導後的成果是cosx的平方？ 答案是斷定的。這個函數就是f(x) = sin^2(x) + cos^2(x)。我們曉得，根據三角恆等式，這個函數可能簡化為f(x) = 1，因為sin^2(x) + cos^2(x) = 1。 但我們的目標是找到一個函數，其導數為cosx的平方，即f'(x) = cos^2(x)。如許的函數可能經由過程對cosx停止恰當的變更掉掉落。讓我們來摸索一下。 考慮函數f(x) = cos^2(x)。我們可能利用鏈式法則跟基本的三角恆等式來求導這個函數。起首，將cos^2(x)寫成cos(x) * cos(x)，然後利用鏈式法則，掉掉落： f'(x) = 2 * cos(x) * (-sin(x)) = -2sin(x)cos(x)。 這顯然不是我們要找的成果。為了掉掉落cos^2(x)，我們可能考慮複合函數。一個簡單的變更是將cosx放入指數函數中，比方考慮函數g(x) = e^(cos(x))。對g(x)求導，我們掉掉落： g'(x) = -sin(x)e^(cos(x))。 但這仍然不是我們想要的。我們須要進一步思考怎樣構造函數以滿意前提。終極，我們可能考慮以下函數： f(x) = (1/2) * cos(2x) + (1/2)。 對這個函數求導，我們掉掉落： f'(x) = -sin(2x)。現在，我們可能利用二倍角公式sin(2x) = 2sin(x)cos(x)，將f'(x)重寫為： f'(x) = -2sin(x)cos(x) = -sin(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x)。 由此可見，函數f(x) = (1/2) * cos(2x) + (1/2)的導數確切是cosx的平方，因為cos(2x) = 2cos^2(x) - 1，所以cos^2(x) = (cos(2x) + 1) / 2。 經由過程這個成績的摸索，我們不只發明白一個風趣的數學性質，還複習了三角恆等式跟導數的打算規矩，休會了數學的深度與美好。