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在數學的眾多函數中，有一類特其余函數——正比例函數，其情勢平日表示為 y = k/x，其中 k 是一個常數。那麼，什麼樣的函數的導函數會是正比例函數呢？ 起首，我們須要明白一點：正比例函數的導函數並不是另一個正比例函數，而是另一品種型的函數。具體來說，正比例函數 y = k/x 的導函數是一個特其余函數——標記函數，其情勢為 y = -k/x^2，也可能看作是 k 乘以 x 的負二次冪。 為什麼正比例函數的導函數是標記函數呢？這須要我們從導數的定義說起。導數在多少何上表示函數圖像在某一點的切線斜率，而在物理上，它可能表示物體的瞬時速度。對正比例函數 y = k/x，其導數打算如下： 當 x > 0 時，f'(x) = d(k/x)/dx = -k/x^2 當 x < 0 時，同樣有 f'(x) = -k/x^2 由此可見，無論 x 的正負，正比例函數的導數都遵守標記函數的情勢，即 y = -k/x^2。這是一個非常風趣且獨特的性質，因為大年夜少數函數的導數會隨着自變量的正負變更而改變標記，但正比例函數的導數卻保持一致。 其余，我們還可能從另一個角度懂得這一性質。在正比例函數的圖像上，隨着 x 的增大年夜，函數值 y 增大年夜（x > 0）或減小（x < 0），但變更率（即導數）卻壹直是負的，並且隨着 x 的絕對值增大年夜而趨向於零。這恰是標記函數 y = -k/x^2 所描述的特點。 總結來說，正比例函數的導函數是一個標記函數，其情勢為 y = -k/x^2。這一性質不只展示了數學的內涵美，並且在現實利用中也有廣泛的意思，比方在物理學跟工程學中描述相幹景象。